数学历年真题全精解析·数学一、选择题(1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题(1)x→0+时，下列无穷小量中最高阶是"sin r√sin'tdt..(B)2.(C)3.(D)4.(3)V(1-x)(A)4(4)已知函数f(x)=x2ln(1-x),当n≥3时，(0)=n-2n-2(5)关于函数f(x,y)=了x,y=0给出以下结论(y,x=0=1=1③，1imf(x,y)=0④lim limf(x,y)=0正确的个数是(A)4.(B)3.(C)2.(D)1.(6)设函数f(x)在区间[-2,2]上可导，且f(x)>f(x)>0,则(7)设4阶矩阵A=(a,)不可逆，a12代数余子式A12≠0，a1,a2,a3,a4为矩阵A的列向量组，A为A伴随矩阵，则方程组A"x=0通解为(B)x=k1a1十k2a2十k3a4,其中k1,k2,kg为任意常数.(8)设A为3阶矩阵，a1,a2为A的属于特征值为1的线性无关的特征向量，as为A的属于特征值00一1的特征向量，则满足PAP=0-10的可逆矩阵P为001二、填空题(9~14小题，每小题4分，共24分.）(9)1。22020年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题◆(1l)设之=arctan[xy+sin(x+y)],则dz(12)斜边长为2a等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g,水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为(13)设y=y(x)满足y+2y+y=0,且y(0)=0,y(0)=1,则。y(x)dz=.a0-110a1(14)行列式-1101-10a三、解答题(15~23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求曲线y=十(x>0)的斜渐近线方程(16)(本题满分10分)(17)(本题满分10分)求函数f(x,y)=x3+8y3一xy的极值.(18)(本题满分10分)1(19)(本题满分10分)x数学历年真题全精解析数学(20)(本题满分11分)（I)证明：存在∈(1,2)，f()=(2-)e;(Ⅱ)证明：存在n∈(1,2)，f(2)=ln2·e.(21)(本题满分11分)设函数f(x)可导，且f(x)>0,曲线y=f(x)(x≥0)经过坐标原点O,其上任意一点M处的切线与x轴交于T,又MP垂直x轴于点P.已知由曲线y=f(x),直线MP以及x轴所围图形的面积与△MTP的面积之比恒为3：2，求满足上述条件的曲线的方程.(22)(本题满分11分)yy2[y3(I)求a的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P.(23)(本题满分11分)设A为2阶矩阵，P=(a,Aa),其中a是非零向量且不是A的特征向量.(I)证明P为可逆矩阵.(Ⅱ)若A2a+Aa一6a=0.求P1AP,并判断A是否相似于对角矩阵.2020年全国硕士研究生招生考试数学（二）参考答案◆2020年全国硕士研究生招生考试数学（二）参考答案一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=0某邻域内连续，且当x→0时，f(x)~故应选(D)(方法二)设f(x)和p(x)在x=0某邻域内连续，且当x→0时，f(x)和p(x)分别是x的5(C),"sin'drmn(m)3.故应选(D).(2)【答案】C【分析】由f(x)的表达式可知，f(x)共有四个间断点，分别为x=-1:limf(x)=∞，则x=-1为第二类间断点；e-In(1+x)lim0x(x-2)x=1:limf(x)=o∞，则x=1为第二类间断点；x=2:limf(x)=∞，则x=2为第二类间断点.(3)【答案】A【分析】故应选A.(4)【答案】A【分析】n!n-2故应选A.(5)【答案】B【解析】=lim不存在，②不正确.显然1imf(x,y)=0,③正确.0,xy≠0或y=,所以1 im limf(x,y)=0,④正确.x=0故答案选(B).【评注】此题是对极限求法及偏导数定义的考察，(6)【答案】B【解析】（方法一）直接法：由f(x)>f(x)>0,x∈[-2,2]可知，f(x)-f(x)>0从而有e(f(x)一f(x)>0,即[ef(x)]'>0.令F(x)=ef(x),则F(x)在[-2,2]上单调增，从而有F(0)>F(-1)直接法：由f(x)>f(x)>0,x∈[-2,2]可知，>e6